Coronavirus: le restrizioni funzionano? gli ultimi dati di Italia e Lazio
13/03/2020 – Breve analisi degli ultimi dati disponibili sui decessi a causa del coronavirus COVID-19 in Italia e nel Lazio: iniziano a percepirsi gli effetti delle restrizioni messe in atto dal Governo.
Sebbene il nuovo coronavirus COVID-19 non rientri propriamente tra le tematiche cui questo sito è dedicato, ho deciso ugualmente di condividere con i lettori i risultati di un’analisi dati svolta da me in quanto fisico: ritengo infatti che, vista la totale eccezionalità della situazione che stiamo vivendo, possa essere di grande interesse capire qualcosa in più su come vengono esaminati i dati rilevati, a partire dai quali si fanno delle previsioni in base a un modello descrittivo del fenomeno, analogamente a quanto avviene per le previsioni del tempo atmosferico.
La variabile che ho deciso di analizzare è quella dei decessi causati dal COVID-19. Il motivo per cui l’ho scelta è molto semplice: i dati relativi ai contagi sono affetti da un errore di sottostima di base, dovuto al fatto che sono rilevati tramite tamponi, che vengono eseguiti solo su una piccola parte della popolazione; il dato dei decessi è invece più oggettivo.
Premesse teoriche
Andiamo ora nel dettaglio della questione. L’andamento del fenomeno osservato – i decessi in funzione del tempo – è in una fase iniziale di tipo esponenziale. Questo significa che vi è una crescita molto rapida. Se non vengono attuate misure di controllo dell’epidemia, l’andamento rimane esponenziale anche nei giorni successivi, portando in poche decine di giorni il numero dei decessi a valori enormi.
La legge che descrive questo tipo di fenomeni è chiamata equazione logistica. Questa legge è caratterizzata da un iniziale andamento esponenziale, che dopo un certo numero di giorni (di ordine 10) diviene meno ripido, per poi infine assestarsi a un valore costante (plateau), momento in cui di fatto iniziano a non esservi più nuovi decessi. Il caso limite è ovviamente quello di plateau raggiunto quando l’intera popolazione è deceduta.
L’effetto delle restrizioni è quello di ridurre il valore asintotico e di dilatare il tempo in cui questo viene raggiunto (detto tempo caratteristico). In altre parole, vi è un tempo dall’inizio del processo in cui quello che inizialmente è un trend esponenziale viene abbandonato per rivelare la natura logistica del fenomeno, e questo tempo è tanto più breve quanto più sono tempestive e funzionanti le restrizioni messe in atto, che di fatto possono salvare centinaia se non migliaia di vite.
Il caso della Cina
Vediamo per prima di cosa quale è stato il trend dei decessi in Cina, ora che la sua natura logistica si è rivelata in ogni sua fase, aiutandoci con un grafico.
La curva blu rappresenta l’andamento esponenziale dei contagi rilevato nei primi 10 giorni (NB: sull’asse verticale sono indicate le migliaia, cioè 1=1000), mentre quella rossa l’andamento logistico; i puntini arancioni sono i dati effettivamente campionati. Si evince chiaramente come, dopo poco più di 10 giorni, il trend si sia discostato dall’esponenziale a favore di quello logistico. Con uno zoom sui primi giorni si nota anche come inizialmente i dati rilevati seguissero fedelmente la curva blu (esponenziale), per poi assestarsi su quella arancione (logistica).
Un altro grafico interessante da guardare è l’andamento del cosiddetto R quadro, che quantifica la bontà di una simulazione fatta sui dati campionati. L’idea è la seguente: dato un set di dati, si vuole provare a vedere quale funzione (o legge) questi seguano, nel nostro caso ad esempio esponenziale o logistica. Provando a simulare (in gergo fare un fit) con l’una o l’altra legge, otterremo un risultato più o meno buono a seconda che i dati seguano o no tale legge. Il valore del R quadro, compreso tra 0 e 1, ci dice quanto il fit è buono. Normalmente, un fit è molto buono se R quadro > 0.98. Vediamo allora qual è stato l’andamento, per i decessi in Cina, del R quadro per ciascuna delle due leggi che stiamo prendendo in esame nel seguente grafico.
Si vede come inizialmente gli R quadro seguano un trend molto simile, e questo è normale perché esponenziale e logistica nei primi tempi corrispondono. Notiamo poi dal decimo giorno un distacco più netto, per poi avere una caduta libera del R quadro per l’esponenziale dal ventesimo giorno, con corrispondente assestamento di quello per la logistica a un valore molto buono vicino a 1: quello che sta accadendo è semplicemente che il trend dei decessi è passato dal seguire una legge esponenziale a una logistica, grazie ai provvedimenti messi in atto.
E in Italia cosa sta succedendo?
Come abbiamo detto, trend esponenziale e logistico sono inizialmente equivalenti, e successivamente vi è un netto distacco. Il trend dei decessi per il COVID-19 in Italia ha perciò finora seguito un andamento esponenziale. Tuttavia, dai dati rilevati negli ultimi 2 giorni, sembra che si stia attuando il cambio di trend da esponenziale a logistico, come evidenziato dal grafico dei valori di R quadro.
Come per la Cina, notiamo che nella fase iniziale gli R quadro seguono lo stesso andamento perché in tale fase i due modelli si equivalgono. Gli ultimi due dati, però, danno un buon segnale: la tendenza si sta orientando sulla legge logistica a discapito di quella esponenziale. Si tratta ancora di troppi pochi dati per trarre conclusioni, ma senza dubbio sono dati importanti, e le misure di contenimento messe in atto stanno dando i primi risultati.
In base al modello logistico, possiamo fare anche una stima di ciò che avverrà nei prossimi tempi, come mostrato dal grafico seguente.
La curva rossa mostra il trend esponenziale che i decessi in Italia hanno seguito fino a due giorni fa (sull’asse verticale sono riportate le migliaia, cioè 1 va letto come 1000 ecc.); quella verde mostra invece il trend logistico, su cui il fenomeno sembra iniziare ad assestarsi; i puntini blu sono i dati rilevati.
L’area colorata in verde mostra l’incertezza associata all’attuale previsione dell’andamento futuro, e in particolare rappresenta la zona in cui al 95% delle probabilità la curva si assesterà. A giudicare da questa simulazione, siamo ancora a metà strada prima di arrivare al plateau e quindi a una diminuzione dei decessi, che alla fine (tra 20 giorni circa) sembrano potersi attestare nella peggiore delle ipotesi sui 3500.
La buona notizia, ad oggi, è che sembrano finalmente vedersi i primi effetti positivi delle restrizioni messe in atto dal Governo.
Per quanto riguarda il Lazio, ci troviamo ancora nella fase esponenziale (i decessi sono iniziati 10 giorni fa e attualmente si attestano a 11 su 242 casi confermati) e i dati a disposizione sono troppo pochi per fare una simulazione come quella fatta per l’Italia. Nei prossimi giorni sicuramente faremo una simulazione.
Note per i più esperti
Le formule su cui sono stati effettuati i fit sono le seguenti
\[ \text{(logistica) }N(t)=\frac{k}{1+e^{-(t-t_c)/\tau}}\quad \text{(esponenziale) }N(t)=Be^{t/\tau}\]
con \(k\) il valore asintotico, \(\tau\) il tempo caratteristico e \(t_c\) il tempo iniziale a cui inizia la crescita esponenziale. Gli effetti delle restrizioni sono quelli di diminuire \(k\) e aumentare \(\tau\). Per l’Italia attualmente il tempo caratteristico è di circa 3 giorni, mentre per la Cina è 6. Per maggiori dettagli sull’equazione logistica leggere qui.
L’intervallo di confidenza nella previsione futura è quello al 95% ed è generato tramite Matlab utilizzando la matrice di covarianza. Maggiori info qui.
Definizione e calcolo del R quadro qui.
Nota: i grafici presenti in questo articolo sono stati elaborati dal sottoscritto e sono perciò protetti da copyright. Qualsiasi riproduzione è vietata a meno che non esplicitamente autorizzata.
